IB Mathematics AI 課程介紹
在數據驅動的世界中，數學與科技的結合已成為解決現實問題與推動創新的關鍵。國際文憑 (IB) 大學預科課程 (DP) 提供兩門不同的數學科目，以滿足不同學生的需求、興趣與能力。其中，數學應用與詮釋 (Mathematics: Applications and Interpretation, AI) 專為重視數學在實際情境中的應用與建模的學生設計。這門課強調數據分析、統計、科技的應用以及數學在不同學科領域中的實踐性，適合未來計畫從事社會科學、生物科學、商業、環境科學與資訊技術等領域的學生。
課程特色與學習目標
數學 AI 課程強調數學在現實世界中的應用，並著重於數據分析、數學建模及科技工具的運用。你將學習如何將數學概念轉化為實際情境中的問題，並運用適當的方法來分析、解釋與解決問題。此外，課程鼓勵學生發展批判性思維與創造性解決問題的能力，並培養在多元學科與真實環境中靈活應用數學的技巧。
數學 AI 課程的核心目標包括：
- 培養對數學的興趣，並理解其在現代社會中的價值
- 發展數據分析、統計與建模能力，以解決現實世界的問題
- 熟練運用科技工具來探索數學概念，並提升數學解釋與表達能力
- 強化邏輯推理與批判性思維，並應用於跨學科的情境
- 理解數學如何影響並與科技、社會科學、商業、環境科學等領域相結合
課程內容與學習時數
數學 AI 課程分為 Standard Level 與 Higher Level 兩種，其中 HL 內容更深入、更具挑戰性。課程涵蓋以下五大數學領域：
| 課程領域 | SL (小時) | HL (小時) |
|---|---|---|
| 數與代數 (Number and Algebra) | 16 | 29 |
| 函數 (Functions) | 31 | 42 |
| 幾何與三角函數 (Geometry and Trigonometry) | 18 | 46 |
| 統計與機率 (Statistics and Probability) | 36 | 52 |
| 微積分 (Calculus) | 19 | 41 |
| 探索與建模 (Internal Exploration) | 30 | 30 |
| 總計 (Total Hours) | 150 | 240 |
評估方式
IB Mathematics AI 課程的最終評分由外部考試 (External Assessment) 與內部評估 (Internal Assessment, IA) 組成。考試內容涵蓋短答題與延伸應用題，要求學生展示計算能力與數學推理能力。
| 評估類型 | SL (小時) | HL (小時) | 成績占比 (%) (SL / HL) |
|---|---|---|---|
| 外部評估 | |||
| Paper 1 – 允許使用計算機 | 1.5 | 2 | 40% / 30% |
| Paper 2 – 允許使用計算機 | 1.5 | 2 | 40% / 30% |
| Paper 3 – HL only，應用題 | – | 1 | – / 20% |
| 內部評估 (IA) – 探索報告 (Exploration) | |||
| 探索報告 (Exploration) | 15 | 15 | 20% / 20% |
內部評估 (IA) 允許學生選擇一個數學主題進行研究，撰寫報告，並展示其數學理解與應用能力。
適合選擇數學 AI 的學生
數學 AI 適合對數據分析、數學應用與科技工具運用感興趣的學生，特別是：
- 計畫未來攻讀 商業、經濟、社會科學、生物科學、環境科學、資訊技術 或其他與數學應用密切相關領域的學生
- 喜歡透過數據、建模與科技解決現實問題，並對數學在各種學科與實際情境中的應用方式感興趣的學生
- 希望培養分析與決策能力，並在未來職涯中應用數學來解釋現象、預測趨勢與優化結果的學生。
學習建議
學習 IB Mathematics AI 需要扎實的數學基礎和有效的學習策略。以下是一些建議，希望能幫助你學得更加順利：
- 掌握概念並應用：數學 AI 強調數學在現實世界中的應用，而不只是單純的計算。學習時，不僅要記住公式，還要理解它們的意義、用途及與其他概念的關聯。試著用數據、圖表和案例來分析數學問題，以培養靈活應用知識的能力。
- 定期練習與複習：數學需要透過持續的練習來加強。制定學習計劃，包含做題和刷考古題，以熟悉不同題型和考試模式。定期複習，確保長期記憶和理解。
- 善用工具：數學 AI 強調使用工具來解決問題，例如 Desmos、GeoGebra、圖形計算機 (GDC) 等。熟練使用這些工具可以幫助你更直觀地理解函數行為、統計分析和數據建模，提高學習效率。
- 發展數據分析與建模能力：課程內容涵蓋統計、機率、數據建模等應用領域。學習時可以嘗試解讀現實世界的數據，例如分析財經數據、人口統計、環境變化等，將數學知識與實際問題結合。
- 探求額外資源：利用教科書之外的資源，如線上課程、教學影片和其他教科書，有助於加深理解與獲得更多練習機會。
- 管理時間與壓力：AA 課程內容豐富，難度也高。制定詳細的學習計劃，合理分配時間，避免臨時抱佛腳。
- 與老師保持溝通：與數學老師討論，尋求反饋和指導。
- 關注 IA：IA 是課程的重要組成部分，要求學生進行獨立的數學探索。選擇一個感興趣且具有挑戰性的主題，確保研究過程嚴謹，論述清晰，數據分析到位。
- 保持好奇心與熱情：培養對數學的興趣，主動探索課程之外的數學問題。這不僅能增強學習動力，還能拓廣知識，培養創造性思維。
課程詳細內容
IB 數學 AI SL 課程內容整理（參考 Oxford 教科書）
1. 測量空間：精準度與二維幾何
- 1.1 測量與估算
- 1.2 記錄測量數據、有效數字與四捨五入
- 1.3 測量的精確性與近似值
- 1.4 科學表達
- 1.5 直角三角形的三角學與間接測量
- 1.6 仰角與俯角
2. 非直角三角形與體積
- 2.1 非直角三角形的三角學
- 2.2 三角形面積公式：直角與非直角三角形的應用
- 2.3 幾何：立體圖形、表面積與體積
3. 敘述統計
- 3.1 收集與整理單變數數據
- 3.2 抽樣技術
- 3.3 數據的呈現方式
- 3.4 雙變數數據
4. 座標幾何、直線與 Voronoi 圖
- 4.1 二維與三維座標、距離與中點公式
- 4.2 直線的斜率與其應用
- 4.3 直線方程的不同形式
- 4.4 平行與垂直直線
- 4.5 Voronoi 圖與有毒廢棄物問題 (toxic waste problem)
5. 線性函數
- 5.1 函數
- 5.2 線性模型
- 5.3 等差數列
- 5.4 數學建模
6. 雙變數數據的線性相關
- 6.1 相關性的測量
- 6.2 最佳擬合線
- 6.3 回歸線的解釋
7. 機率、二項分佈與常態分佈
- 7.1 理論與實驗機率
- 7.2 以圖形表示聯合機率 (combined probabilities)
- 7.3 以圖形與公式表示聯合機率 (combined probabilities)
- 7.4 完整、簡潔且一致的表示方式 (Complete, concise and consistent representations)
- 7.5 隨機行為建模：隨機變數與機率分佈
- 7.6 建模：固定次數試驗中的成功次數
- 7.7 建模：隨機分佈測量
8. Spearman 相關性、假設檢定與卡方檢定 (Spearman’s hypothesis testing and χ² test for independence)
- 8.1 Spearman 等級相關係數 (Spearman’s rank correlation coefficient)
- 8.2 卡方獨立性檢定 (χ² test for independence)
- 8.3 卡方適配度檢定 (χ² goodness-of-fit test)
- 8.4 t 檢定 (The t-test)
9. 冪函數 (power functions)
- 9.1 二次模型
- 9.2 二次函數問題
- 9.3 三次模型、冪函數與正反比例變化
- 9.4 最佳化 (Optimisation)
10. 指數與對數函數的微分
- 10.1 等比數列與級數
- 10.2 複利、年金與攤銷 (amortization)
- 10.3 指數模型
- 10.4 指數方程與對數
11. 三角函數
- 11.1 週期函數導論
- 11.2 無限多種正弦函數 (An infinity of sinusoidal functions)
- 11.3 週期現象的正弦模型
12. 微分
- 12.1 極限與導數
- 12.2 切線與法線方程、遞增遞減分析
- 12.3 最大最小值與最佳化
13. 積分
- 13.1 面積計算
- 13.2 積分：微分的反向運算
IB 數學 AI HL 課程內容整理（參考 Oxford 教科書）
1. 測量空間：精準度與幾何學
- 1.1 精確與近似
- 1.2 角度與三角形
- 1.3 三維幾何
2. 敘述統計
- 2.1 收集與整理數據
- 2.2 統計測度 (Statistical measures)
- 2.3 呈現數據的方法
- 2.4 雙變數數據
3. 座標幾何、直線、Voronoi 圖與向量
- 3.1 二維與三維座標幾何
- 3.2 二維直線方程
- 3.3 Voronoi 圖
- 3.4 位移向量
- 3.5 內積與外積
- 3.6 直線的向量方程
4. 線性函數與回歸 (linear functions and regressions)
- 4.1 函數
- 4.2 線性模型
- 4.3 反函數
- 4.4 等差數列與級數
- 4.5 線性回歸 (Linear regression)
5. 機率
- 5.1 理論與實驗機率
- 5.2 以圖形表示聯合機率 (Combined probabilities)
- 5.3 以圖形與公式表示聯合機率
- 5.4 完整、簡潔且一致的表示方式 (Complete, concise and consistent representations)
6. 冪函數與多項式函數
- 6.1 二次模型
- 6.2 二次函數建模
- 6.3 三次函數與模型
- 6.4 冪函數、反比與模型
7. 指數與對數函數的微分
- 7.1 等比數列與級數
- 7.2 等比數列與級數的財務應用
- 7.3 指數函數與模型
- 7.4 指數定律與對數定律
- 7.5 Logistic 模型
8. 三角函數與複數
- 8.1 角度測量
- 8.2 正弦模型：\(f(x)=asin(b(x−c))+d\)
- 8.3 完整數系 (Number system) 的建立
- 8.4 複數的幾何詮釋
- 8.5 利用複數理解週期模型
9. 使用矩陣建模：數據儲存與分析
- 9.1 矩陣簡介與矩陣運算
- 9.2 矩陣乘法與性質
- 9.3 使用矩陣解聯立方程
- 9.4 平面的變換
- 9.5 系統的表示 (Representing systems)
- 9.6 穩態系統 (Steady state systems) 的表示
- 9.7 特徵值與特徵向量 (Eigenvalues and eigenvectors)
10. 微分
- 10.1 極限與導數
- 10.2 微分法：進階法則與技巧
- 10.3 應用與高階導數
11. 積分與微分方程
- 11.1 近似計算不規則區域的面積
- 11.2 不定積分與積分技巧
- 11.3 積分的應用
- 11.4 微分方程
- 11.5 斜率場與微分方程
12. 建模二維與三維運動與變化：向量與微分方程
- 12.1 向量
- 12.2 變速運動
- 12.3 耦合微分方程的解析解
- 12.4 耦合線性方程的近似解
13. 隨機變數與機率分佈
- 13.1 隨機行為建模
- 13.2 固定次數試驗中的成功次數建模
- 13.3 固定間隔內的成功次數建模
- 13.4 隨機分佈測量建模
- 13.5 變數變換或組合後的均值與方差
- 13.6 組合變數的分佈
14. Spearman 假設檢定與卡方獨立性檢定 (Spearman’s hypothesis testing and χ² test for independence)
- 14.1 Spearman 等級相關係數 (Spearman’s rank correlation coefficient)
- 14.2 二項機率、Poisson 均值與相關係數的假設檢定
- 14.3 常態分佈均值的檢定 (Testing for the mean of a normal distribution)
- 14.4 卡方獨立性檢定 (Chi-squared test for independence)
- 14.5 卡方適配度檢定 (Chi-squared goodness-of-fit test)
- 14.6 檢定的選擇、有效性與詮釋
15. 優化複雜網絡：圖論 (Graph theory)
- 15.1 圖的構造 (Constructing graphs)
- 15.2 無加權圖的圖論
- 15.3 加權圖的圖論：最小生成樹 (The minimum spanning tree)
- 15.4 加權圖的圖論：郵差問題 (The Chinese postman problem)
- 15.5 加權圖的圖論：推銷員問題 (The travelling salesman problem)
