IB Mathematics AA 完整指南：從基礎到進階概念解析

IB Mathematics AA 課程介紹

在當今快速發展的世界中，數學已成為創新與科技發展的基石。國際文憑 (IB) 大學預科課程 (DP) 提供了兩門不同的數學科目，以對應不同學生的需求、興趣與能力。其中，數學分析與方法 (Mathematics: Analysis and Approaches, AA) 專為重視理論、分析與嚴謹邏輯推理的學生設計，適合未來想往數學、工程、物理、電腦科學與經濟學等學科發展的學生。

課程特色與學習目標

數學 AA 課程強調數學概念的深入理解與嚴謹推理，並注重抽象問題的解決能力。你將透過嚴密的數學論證來建構、表達並驗證數學推理，並且探索不同主題間的內在聯繫。此外，課程亦鼓勵學生發展獨立思考能力，並在不同的學習環境中持續精進數學知識。

數學 AA 課程的核心目標包括：

• 培養對數學的興趣與欣賞
• 建立數學的核心概念與原則，發展清晰、簡潔且自信的數學表達能力
• 發展邏輯與創造性思考方式，並培養解決問題的耐心與毅力
• 學會抽象與歸納推理，並將數學知識應用於不同情境
• 認識數學與科技的相互影響，了解數學在各學科及現實世界中的應用

課程內容與學習時數

數學 AA 課程分為 Standard Level 與 Higher Level 兩種，其中 HL 內容更深入、更具挑戰性。課程涵蓋以下五大數學領域：

評估方式

IB Mathematics AA 課程的最終評分由外部考試 (External Assessment) 與內部評估 (Internal Assessment, IA) 組成。考試內容涵蓋短答題與延伸應用題，要求學生展示計算能力與數學推理能力。

內部評估 (IA) 允許學生選擇一個數學主題進行研究，撰寫報告，並展示其數學理解與應用能力。

適合選擇數學 AA 的學生

數學 AA 適合對純數學與理論分析有興趣的學生，特別是：

• 計畫未來攻讀 數學、工程、物理、計算機科學、經濟學 或其他與數學密切相關領域的學生
• 喜歡推理、證明與數學抽象概念，對於數學的邏輯性與結構性感興趣的學生
• 在數學競賽或高階數學研究上有興趣，並希望挑戰更具難度的數學題目的學生。

學習建議

學習 IB Mathematics AA 需要扎實的數學基礎和有效的學習策略。以下是一些建議，希望能幫助你學得更加順利：

• 深入理解概念：AA 課程強調對數學概念的深刻理解和分析能力。不僅僅是記住公式，還要理解其背後的原理和推導過程。這有助於靈活應用知識來解決複雜問題。
• 定期練習與複習：數學需要透過持續的練習來加強。制定學習計劃，包含做題和刷考古題，以熟悉不同題型和考試模式。定期複習，確保長期記憶和理解。
• 培養證明能力：AA 課程強調數學證明。練習不同類型的證明題，熟悉常見的證明技巧，如歸納法、反證法等，可以提高邏輯推理能力。
• 善用工具：熟練計算機或數學軟體（如 Desmos）的使用，可以幫助你學習得更加深入，比如用 Desmos 來觀察函數圖形的變化、繪製圖形等。
• 探求額外資源：利用教科書之外的資源，如線上課程、教學影片和其他教科書，有助於加深理解與獲得更多練習機會。
• 管理時間與壓力：AA 課程內容豐富，難度也高。制定詳細的學習計劃，合理分配時間，避免臨時抱佛腳。
• 與老師保持溝通：與數學老師討論，尋求反饋和指導。
• 關注 IA：IA 是課程的重要組成部分，要求學生進行獨立的數學探索。選擇一個感興趣且具有挑戰性的主題，確保研究過程嚴謹，論述清晰，數據分析到位。
• 保持好奇心與熱情：培養對數學的興趣，主動探索課程之外的數學問題。這不僅能增強學習動力，還能拓廣知識，培養創造性思維。

課程詳細內容

IB 數學 AA SL 課程內容整理（參考 Oxford 教科書）

1. 數列與級數 (Sequences and series)

• 1.1 數列模式與 \(\Sigma\) 符號 (Number patterns and sigma notation)
• 1.2 等差數列與等比數列 (Arithmetic and geometric sequences)
• 1.3 等差與等比級數 (Arithmetic and geometric series)
• 1.4 利用等差與等比級數進行建模 (Modelling using arithmetic and geometric series)
• 1.5 二項式定理 (The binomial theorem)
• 1.6 證明 (Proofs)

2. 函數 (Introducing functions)

• 2.1 什麼是函數？(What is a function?)
• 2.2 函數符號 (Functional notation)
• 2.3 函數圖形繪製 (Drawing graphs of functions)
• 2.4 函數的定義域與值域 (The domain and range of a function)
• 2.5 函數的合成 (Composition of functions)
• 2.6 反函數 (Inverse functions)

3. 線性與二次函數 (Linear and quadratic functions)

• 3.1 線性函數的參數 (Parameters of a linear function)
• 3.2 線性函數 (Linear functions)
• 3.3 函數的變換 (Transformations of functions)
• 3.4 二次函數的圖形 (Graphing quadratic functions)
• 3.5 因式分解與配方法 (Solving quadratic equations by factorization and completing the square)
• 3.6 二次函數公式解與判別式 (The quadratic formula and the discriminant)
• 3.7 二次函數的應用 (Applications of quadratics)

4. 有理函數 (Rational functions)

• 4.1 反比函數 (The reciprocal function)
• 4.2 反比函數的變換 (Transforming the reciprocal function)
• 4.3 有理函數 \(\frac{ax+b}{cx+d}\) (Rational functions of the form \(\frac{ax+b}{cx+d}\))

5. 微分 (Differentiation)

• 5.1 極限與收斂 (Limits and convergence)
• 5.2 導數函數 (The derivative function)
• 5.3 微分法則 (Differentiation rules)
• 5.4 一階與二階導數的圖形意義 (Graphical interpretation of first and second derivatives)
• 5.5 微分應用：最佳化與運動學 (Application of differential calculus: optimization and kinematics)

6. 單變數統計 (Statistics for univariate data)

• 6.1 抽樣 (Sampling)
• 6.2 數據展示 (Presentation of data)
• 6.3 集中趨勢測量 (Measures of central tendency)
• 6.4 離散度測量 (Measures of dispersion)

7. 雙變數統計 (Statistics for bivariate data)

• 7.1 散佈圖 (Scatter diagrams)
• 7.2 相關性的測量 (Measuring correlation)
• 7.3 最佳回歸直線 (The line of best fit)
• 7.4 最小平方回歸 (Least squares regression)

8. 機率 (Probability)

• 8.1 理論與實驗機率 (Theoretical and experimental probability)
• 8.2 機率表示法：文氏圖與樣本空間 (Representing probabilities: Venn diagrams and sample spaces)
• 8.3 獨立與相依事件，條件機率 (Independent and dependent events and conditional probability)
• 8.4 機率樹狀圖 (Probability tree diagrams)

9. 指數與對數 (Exponentials and logarithms)

• 9.1 指數 (Exponents)
• 9.2 對數 (Logarithms)
• 9.3 指數函數與自然對數的導數 (Derivatives of exponential functions and the natural logarithmic function)

10. 積分 (Integration)

• 10.1 反導數與不定積分 (Antiderivatives and the indefinite integral)
• 10.2 進一步的不定積分 (More on indefinite integrals)
• 10.3 面積與定積分 (Area and definite integrals)
• 10.4 微積分基本定理 (Fundamental theorem of calculus)
• 10.5 兩條曲線之間的面積 (Area between two curves)

11. 二維與三維幾何與三角學 (Geometry and trigonometry in 2D and 3D)

• 11.1 三維形狀的幾何 (The geometry of 3D shapes)
• 11.2 直角三角形 (Right-angles triangle trigonometry)
• 11.3 正弦定理 (The sine rule)
• 11.4 餘弦定理 (The cosine rule)
• 11.5 直角與非直角三角學應用 (Applications of right and non-right angled trigonometry)

12. 三角函數 (Trigonometric functions)

• 12.1 弧度、弧長、扇形與線段 (Radian measure, arcs, sectors and segments)
• 12.2 單位圓中的三角比例 (Trigonometric ratios in the unit circle)
• 12.3 三角恆等式與方程 (Trigonometric identities and equations)
• 12.4 三角函數 (Trigonometric functions)

13. 微積分 (More calculus)

• 13.1 正弦與餘弦函數的導數 (Derivatives with sine and cosine)
• 13.2 導數的應用 (Applications of derivatives)
• 13.3 三角函數積分與代換積分 (Integration with sine, cosine and substitution)
• 13.4 運動學與累積變化 (Kinematics and accumulating change)

14. 機率分布 (Probability distributions)

• 14.1 隨機變數 (Random variables)
• 14.2 二項分布 (The binomial distribution)
• 14.3 常態分布 (The normal distribution)

IB 數學 AA HL 課程內容整理（參考 Oxford 教科書）

1. 數列與級數 (Sequences and series)

• 1.1 數列、級數與 \(\Sigma\) 符號 (Sequences, series and sigma notation)
• 1.2 等差數列與等比數列 (Arithmetic and geometric sequences and series)
• 1.3 證明 (Proof)
• 1.4 計數原理與二項式定理 (Counting principles and the binomial theorem)

2. 函數 (Introducing functions)

• 2.1 函數關係 (Functional relationships)
• 2.2 特殊函數及其圖形 (Special functions and their graphs)
• 2.3 函數的分類 (Classification of functions)
• 2.4 函數的運算 (Operations with functions)
• 2.5 函數的變換 (Function transformations)

3. 複數 (Complex numbers)

• 3.1 二次方程與不等式 (Quadratic equations and inequalities)
• 3.2 複數 (Complex numbers)
• 3.3 多項式方程與不等式 (Polynomial equations and inequalities)
• 3.4 代數基本定理 (The fundamental theorem of algebra)
• 3.5 解方程與不等式 (Solving equations and inequalities)
• 3.6 解線性方程組 (Solving systems of linear equations)

4. 微分 (Differentiation)

• 4.1 極限、連續性與收斂 (Limits, continuity and convergence)
• 4.2 函數的導數 (The derivative of a function)
• 4.3 微分法則 (Differentiation rules)
• 4.4 導數的圖形解釋 (Graphical interpretation of the derivatives)
• 4.5 微分應用 (Applications of differential calculus)
• 4.6 隱函數微分與相關變率 (Implicit differentiation and related rates)

5. 數據分析與機率 (Statistics and probability)

• 5.1 抽樣 (Sampling)
• 5.2 敘述統計 (Descriptive statistics)
• 5.3 統計方法的合理性 (The justification of statistical techniques)
• 5.4 相關性、因果關係與線性回歸 (Correlation, causation and linear regression)

6. 幾何與三角學 (Geometry and trigonometry)

• 6.1 三維空間的性質 (The properties of 3D space)
• 6.2 角度的測量 (Angles of measure)
• 6.3 三角比例與恆等式 (Ratios and identities)
• 6.4 三角函數 (Trigonometric functions)
• 6.5 三角方程 (Trigonometric equations)

7. 指數、對數與積分 (Exponents, logarithms and integration)

• 7.1 反導數與定積分 (Integration as antidifferentiation and definite integrals)
• 7.2 指數與對數 (Exponents and logarithms)
• 7.3 指數與對數函數的導數；切線與法線 (Derivatives of exponential and logarithmic functions; tangents and normals)
• 7.4 積分技巧 (Integration techniques)

8. 更多微積分 (More calculus)

• 8.1 面積與體積 (Areas and volumes)
• 8.2 運動學 (Kinematics)
• 8.3 常微分方程 (Ordinary differential equations, ODEs)
• 8.4 極限 (Limits revisited)

9. 向量 (Vectors)

• 9.1 向量的幾何表示 (Geometrical representation of vectors)
• 9.2 向量代數簡介 (Introduction to vector algebra)
• 9.3 內積與其性質 (Scalar product and its properties)
• 9.4 直線的向量方程 (Vector equations of a line)
• 9.5 外積與其性質 (Vector product and properties)
• 9.6 平面的向量方程 (Vector equation of a plane)
• 9.7 直線、平面與角度 (Lines, planes and angles)
• 9.8 向量的應用 (Application of vectors)

10. 更多複數 (More complex numbers)

• 10.1 複數的形式 (Forms of a complex number)
• 10.2 極坐標形式的複數運算 (Operations with complex numbers in polar form)
• 10.3 複數的冪與根 (Powers and roots of complex numbers in polar form)

11. 機率分布 (Probability distributions)

• 11.1 公理化機率系統 (Axiomatic probability systems)
• 11.2 機率分布 (Probability distributions)
• 11.3 連續隨機變數 (Continuous random variables)
• 11.4 二項分布 (Binomial distribution)
• 11.5 常態分布 (The normal distribution)