AP Calculus 大揭密：課程內容、考試結構與準備策略

微積分是一門結合代數與幾何的高階數學，也是科學、工程和經濟學的基礎。在 AP Calculus 課程中，你除了會學習如何解微分（differentiation）與積分（integration）問題，還會學到如何應用這些概念解決現實的問題。

無論你是想提升大學申請的競爭力，還是單純希望學習更多數學，AP Calculus 都是理想的選擇。在這篇文章中，你會快速了解 AP Calculus 的重點內容、學習策略，以及如何成功準備考試、取得高分。

另外，AP Calculus 分為 AB 和 BC 兩種課程，兩者都相當於大學微積分課程，但涵蓋範圍不同。我們會在接下來的文章裡詳細介紹。

課程概覽

AP Calculus AB 與 BC 涵蓋以下十個單元：

詳細內容

單元 1：極限與連續

• 微積分基礎介紹
• 極限（limits）的定義與符號
• 從圖形估算極限值
• 從表格估算極限值
• 極限的代數性質
• 極限的代數運算
• 極限的綜合練習
• 使用 Squeeze Theorem 找出極限
• 連結極限的各種形式
• 探索 Discontinuities 的各種形式
• 點的連續性
• 區間的連續性
• 移除不連續性（Removing Discontinuities）
• 連結無窮極限與垂直漸近線（Vertical Asymptotes）
• 連結無窮遠處的極限與水平漸近線（Horizontal Asymptotes）
• 使用中間值定理 (IVT)

單元 2：微分的定義與基本性質

• 定義平均變化率（AROC）與瞬間變化率（IROC）
• 定義函數的導數（Derivatives）
• 估算特定位置的導數
• 可微分性（Differentiability）與連續性（Continuity）
• 使用 The Power Rule
• 導數的運算規則
• \(\cos x\)、\(\sin x\)、\(e^x\) 與 \(\ln x\) 的導數
• 使用 The Product Rule
• 使用 The Quotient Rule
• \(\tan x\)、\(\cot x\)、\(\sec x\) 與 \(\csc x\) 的導數

單元 3：微分：複合函數、隱函數與反函數

• 連鎖律（The Chain Rule）
• 隱函數的微分
• 反函數的微分
• 反三角函數的微分
• 選擇計算導數的策略
• 計算高階導數

單元 4：微分的應用

• 解讀 Derivative 的意義
• 直線運動：位置、速度與加速度
• 其他變化率
• 介紹 Related Rates
• 解決 Related Rates 的問題
• 使用 Linearity 與 Linearization 估計函數值
• 使用 L’Hospital’s Rule 找出不定形式（Indeterminate Forms）的極限

單元 5：微分的解析應用（Analytical Applications）

• 使用平均值定理（The Mean Value Theorem）
• 極值定理（EVT）、極值、臨界點
• 函數的遞增與遞減
• 使用 Derivative 找出極值
• 使用 Candidates Test 找出絕對極值
• 找出函數的凹凸性（Concavity）
• 使用 Second Derivative Test 找極值
• 畫出函數與其導數的圖形
• 函數與導數的連結
• 最佳化問題（Optimization Problems）
• 探索隱函數的行為

單元 6：積分與變化的累積

• 探索變化的累積（Accumulations of Change）
• 使用黎曼和（Riemann Sums）估算積分區域
• 定積分
• 微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）
• 解讀積分的幾何含義
• 定積分（Definite Integrals）的性質
• 不定積分（Indefinite Integrals）
• 透過變數變換（Substitution）進行積分
• 透過長除法（Long Division）與配方法（Completing the Square）進行積分
• 分部積分法（BC only）
• 利用部分分式分解（Linear Partial Fractions）進行積分（BC only）
• 瑕積分（Improper Integrals）（BC only）

單元 7：微分方程

• 微分方程的建模
• 驗證微分方程的解
• 斜率場（Slope Fields）
• 斜率場的意義
• 歐拉法（Euler’s Method）（BC only）
• 分離變數法（Separation of Variables）
• 指數與微分方程
• Logistic models 與微分方程（BC only）

單元 8：積分的應用

• 函數的平均值
• 位置、速度與加速度
• 使用積分求解應用問題
• 曲線間的面積
• 使用 Cross Sections 計算體積
• 使用 Disc Method 或 Washer Method 計算體積
• 計算其他軸上的旋轉體體積
• 平滑曲線的弧長與距離（BC only）

單元 9：參數方程、極坐標與向量函數（BC only）

• 參數方程的定義與微分
• 參數方程的二階微分
• 參數方程的弧長
• 向量函數的定義與微分
• 向量函數的積分
• 參數與向量函數的應用問題
• 極坐標的定義與微分
• 極坐標曲線的區域面積

單元 10：無窮級數（BC only）

• 收斂（Converging）與發散（Diverging）級數
• 幾何級數（Geometric Series）
• nth Term Test
• Integral Test
• 調和級數（Harmonic Series）與 p-Series
• Comparison Test
• Alternating Series Test
• Ratio Test
• 絕對與條件收斂
• Alternating Series 的誤差區間
• Taylor Polynomial 與函數
• Lagrange Error Bound
• Power Series 的收斂半徑與收斂區間
• 將函數以 Power Series 呈現

考試形式

AP Calculus AB / BC 考試分為兩部分，每部分各占總分的 50%：

如何準備 AP Calculus AB / BC

了解考試範圍與結構

熟悉考試所涵蓋的主題和題型，有助於制定學習計劃。

選擇適合的學習資源

學校使用的教科書是不錯的起點，仔細研讀範例題，並且多做單元練習。此外，線上課程和教學影片，如 Khan Academy，可以用來鞏固概念、快速複習。

規律練習解題

練習官方和非官方的練習題，熟悉題型並提高解題速度。如果需要練習資源，除了可以購買書籍、上網搜尋之外，也可以尋求家教老師、補習班的協助。

訂定學習計劃

將學習內容分配到每日或每週，確保在考試前覆蓋所有主題。第一學期可專注於 AB 的內容，第二學期則涵蓋 BC 的主題。

進行模擬測驗

模擬考試能讓你熟悉考試格式並提高時間管理能力。

參加家教或補習班課程

跟著有經驗的人學習、練習，能夠少走許多彎路，也能對時間進行更有效率的分配。

AP Calculus AB / BC 是一門具有挑戰性的課程，如果你選了這門課，代表你有很大的野心，也代表你對於自己的未來有一定程度的規劃。雖然有挑戰性，但只要透過有效的準備與規律的練習，取得高分就不會太難。希望這篇文章能幫助你更了解這一門課程，也能帶給你更多信心！

考試時我應該…

• 管理做題時間：合理分配作答時間，千萬不要在一個題目上卡太久。
• 展示計算過程：(針對 FRQ) 清楚解釋每一個步驟，並保留所有過程，避免太多跳躍性思考。
• 保持冷靜：穩定步調，遇到難題時不要慌張，如果你覺得很難，那對別人來說也一樣。

AP 考試日期與時間

Week 1

Note: Art and Design submissions are due by 8 p.m. ET on Friday, May 9, 2025.

Week 2

範例題

1. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2\left(2x\right)}{\left(2x\right)^2}=\)

1. 0
2. 1/4
3. 1/2
4. 1

\(f(x)=\begin{cases}2/x & \text{for } x < -1, \\ x^2 – 3 & \text{for } -1 \leq x \leq 2, \\ 4x – 3 & \text{for } x > 2\end{cases}\)

2. Let \(f\) be the function defined above. At what values of \(x\), if any, is \(f\) not differentiable?

1. \(x=-1\) only
2. \(x=2\) only
3. \(x=-1\) and \(x=-2\)
4. \(f\) is differentiable for all values of \(x\).

3. The table above gives values of the differentiable functions \(f\) and \(g\) and their derivatives at selected values of \(x\). If \(h\) is the function defined by: \(h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)+2g\left(x\right)\), then \(h’\left(1\right) =\) ?

1. 32
2. 30
3. -6
4. -16

4. If \(x^3 – 2xy + 3y^2 = 7\), then \( \displaystyle\frac{dy}{dx} =\)

1. \(\displaystyle \frac{3x^2 + 4y}{2x} \)
2. \(\displaystyle \frac{3x^2 – 2y}{2x – 6y} \)
3. \(\displaystyle\frac{3x^2}{2x – 6y} \)
4. \(\displaystyle \frac{3x^2}{2 – 6y} \)